2014年中考数学真题分类解析汇编(48)与圆有关的压轴题

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2014年与圆有关的压轴题,考点涉及:垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;切线性质;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值;相似三角形的判定和性质;勾股定理;特殊四边形性质;等.数学思想涉及:数形结合;分类讨论;化归;方程.现选取部分省市的2014年中考题展示,以飨读者.
【题1】(2014年江苏南京,26题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC的内切圆.
(1)求⊙O的半径;
(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动的时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t的值.

【分析】:(1)求圆的半径,因为相切,我们通常连接切点和圆心,设出半径,再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系,得到方程,求解即得半径.
(2)考虑两圆相切,且一圆已固定,一般就有两种情形,外切与内切.所以我们要分别讨论,当外切时,圆心距等于两圆半径的和;当内切时,圆心距等于大圆与小圆半径的差.分别作垂线构造直角三角形,类似(1)通过表示边长之间的关系列方程,易得t的值.
【解】:(1)如图1,设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,则AD=AF,BD=BE,CE=CF.
∵⊙O为△ABC的内切圆,
∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.
∵∠C=90°,
∴四边形CEOF是矩形,
∵OE=OF,
∴四边形CEOF是正方形.
设⊙O的半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,
∴AB= =5cm.
∵AD=AF=AC?FC=4?r,BD=BE=BC?EC=3?r,
∴4?r@_@3?r=5,
解得 r=1,即⊙O的半径为1cm.
(2)如图2,过点P作PG⊥BC,垂直为G.
∵∠PGB=∠C=90°,∴PG∥AC.
∴△PBG∽△ABC,∴ .∵BP=t,
∴PG= ,BG= .
若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切.
①当⊙P与⊙O外切时,
如图3,连接OP,则OP=1@_@t,过点P作PH⊥OE,垂足为H.
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,
∴四边形PHEG是矩形,
∴HE=PG,PH=CE,
∴OH=OE?HE=1? ,PH=GE=BC?EC?BG=3?1? =2? .
在Rt△OPH中,
由勾股定理, ,
解得 t= .
②当⊙P与⊙O内切时,
如图4,连接OP,则OP=t?1,过点O作OM⊥PG,垂足为M.
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,
∴四边形OEGM是矩形,
∴MG=OE,OM=EG,
∴PM=PG?MG= ,OM=EG=BC?EC?BG=3?1? =2? ,
在Rt△OPM中,
由勾股定理, ,解得 t=2.
综上所述,⊙P与⊙O相切时,t= s或t=2s.
【点评】:本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长,表示其他边长关系

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